Príklad 4L1
Vyšetrite vzájomnú polohu danej priamky p a roviny α v A
4, ak:
p: {x 1 = 1 + t, x 2 = 2 + 2t, x 3 = 3 + 3t, x 4 = 4 + 4t},
α: {x 1 + x 2 + 1 = 0, x 3 – x 4 = 0}.
p: {x 1 = 1 + t, x 2 = 2 + 2t, x 3 = 3 + 3t, x 4 = 4 + 4t},
α: {x 1 + x 2 + 1 = 0, x 3 – x 4 = 0}.
| Riešenie : | |
|
Budeme hľadať najprv spoločné body priamky p a roviny α, potom spoločné smerové vektory priamky p a roviny α. Na základe definície 4L1 urobíme záver.
Dosadením súradníc ľubovoľného bodu X = (1 + t, 2 + 2t, 3 + 3t, 4 + 4t) priamky p do všeobecných rovníc roviny α dostaneme pre parameter t sústavu dvoch rovníc 3t + 4 = 0, t + 2 = 0, ktorá nemá riešenie. Z toho vyplýva, že žiaden bod priamky p neleží v rovine α, t. j. p ∩ α = Ø. Dosadením súradníc ľubovoľného vektora a = (λ, 2λ, 3λ, 4λ) do homogénnej sústavy smeru roviny α dostaneme λ + 2λ = 0, 3λ + 4λ = 0, čo je práve vtedy, keď λ = 0, t. j. keď a = 0. Teda V α = {0}, z čoho vyplýva, že V α ∩ V β = {0}. Z definície 4L1 potom vyplýva, že priamka p a rovina α sú v A 4 mimobežné. |
Úloha 4L1. Vyšetrite vzájomnú polohu dvojíc priamok p, q v A
3, ak:p = {x = 1 + 2t, y = 7 + t, z = 3 + 4t},
q = {x = 6 + 3t, y = -1 - 2t, z = -2 + t}.