Skalárny súčin, ktorý sme definovali v priestore V
3 má štyri základné vlastnosti (s1) - (s4). Tieto vlastnosti sa stanú východiskom pre definovanie skalárneho súčinu vo vektorovom priestore ľubovoľnej dimenzie ako určitej funkcie.
|
Definícia 7L1. Funkcia, ktorá každej usporiadanej dvojici vektorov a, b ∈ V
n
priradí práve jedno reálne číslo a.b, t. j. zobrazenie z V
n
xV
n
do R; (a, b) → a.b tak, že pre každé tri vektory a, b, c a pre každé reálne číslo r sú splnené predpoklady formálne zhodné s podmienkami (s1) až (s4) sa nazýva skalárny súčin vektorov a, b. |
V každom n-rozmernom vektorovom priestore (konečnej dimenzie) možno definovať viac skalárnych súčinov ako jeden.
V prípade, keď je už skalárny súčin pevne definovaný, tak vektorový priestor V
n
nazveme vektorovým priestorom so skalárnym súčinom (alebo metrickým vektorovým priestorom) a budeme študovať vlastnosti prvkov priestoru V
n
vzhľadom na tento súčin.