Kolmosti množín vektorov a ortogonálny doplnok
|
Definícia 7L7. Nech a je ľubovoľný vektor a M, N neprázdne podmnožiny metrického vektorového priestoru V
n
. Hovoríme, že: 1. Vektor a je kolmý na množinu M práve vtedy, keď vektor a je kolmý na každý vektor x ∈ M. Symbolicky: a | M ⇔ ∀x ∈ M; a | x. 2. Množina N je kolmá na množinu M práve vtedy, keď každý vektor y ∈ N je kolmý na každý vektor x ∈ M. Symbolicky: N | M ⇔ ∀y ∈ N, ∀x ∈ M; y | x. |
Na základe symetrickosti kolmosti vektorov sa dá ľahko ukázať, že aj vzťah kolmosti množín je symetrický, t. j. N | M, tak aj M | N.
Urobte dôkaz.
Významnou podmnožinou vektorového priestoru V n je jej ortogonálny doplnok definovaný masledovne.
Urobte dôkaz.Významnou podmnožinou vektorového priestoru V n je jej ortogonálny doplnok definovaný masledovne.
| Definícia 7L8. Nech M je neprázdna podmnožina metrického vektorového priestoru V n . Ortogonálnym doplnkom množiny M v priestore V n sa nazýva množina M ┴ = {x ∈ V n , x | M}. |
Z definície hneď vyplýva, že M | M
┴
(resp. vzhľadom na symetrickosť kolmosti množín aj M
┴
| M).
Ortogonálny doplnok nulového vektora je celý priestor V n , t. j. {0}┴ = V n a ortogonálny doplnok celého priestoru je nulový vektor, t. j. (V n )┴= {0}.
Ortogonálny doplnok nulového vektora je celý priestor V n , t. j. {0}┴ = V n a ortogonálny doplnok celého priestoru je nulový vektor, t. j. (V n )┴= {0}.