V prvej kapitole Základy Euklidovskej geometrie sme poukázali na pomerne komplikovanú formuláciu piateho postulátu Euklida, ako aj na snahy matematikov nahradiť tento postulát vetou, alebo nahradiť pôvodnú axiómu inou – jednoduchšou. Načrtnutým problémom sa zaoberal nemecký matematik C. F. Gauss, maďarský matematik J. Bolyai a mladý ruský matematik N. I. Lobačevskij (1792 – 1856), ktorý svoje výsledky zverejnil na Kazanskej univerzite ako prvý v roku 1826.

Podstatou geometrie prezentovanej Lobačevským bolo nahradenie piateho postulátu Euklida svojím postulátom, ktorý vo voľnej interpretácii znie takto:

Následne budoval geometrické poznatky, využívajúc uvedenú axiómu a z logického hľadiska neprišiel v teoretickom budovaní geometrie k žiadnemu sporu. Preto hovoríme, že objavil neeuklidovskú geometriu, neskôr nazývanú (po svojom autorovi) Lobačevského geometria.

Podobné modely geometrie vytvorili viacerí autori, ktoré boli v zásade založené na obmene práve piateho Euklidovho postulátu. Súbor prvých štyroch Euklidovych axióm sa vyskytuje takmer vo všetkých modeloch iných (neeuklidovských) geometrií. Geometria založená na axiómach incidencie, usporiadania, zhodnosti a spojitosti sa nazýva absolútna geometria a je nezávislá od axiómy rovnobežnosti.