Dôkaz matematickou indukciou – riešenie úloh
Zadanie:
Dokážte, že pre súčet prvých n nepárnych čísel platí .

Riešenie:
Použijeme dôkaz matematickou indukciou.
  • 1.
    Nech . Potom . Teda tvrdenie platí pre  .
  • 2.
    Predpokladajme, že tvrdenie platí pre  ,
    teda že .
    Dokážeme, že potom platí tvrdenie aj pre  ,
    teda že .

    K dôkazu tejto rovnosti použijeme nasledujúce úpravy. Najprv upravíme ľavú stranu:

    .
    Pre takto upravenú ľavú stranu použijeme predpoklad, podľa ktorého

    .

    Teda .
  • 3.
    Pre súčet prvých n nepárnych čísel platí .
 
Zadanie:
Dokážte, že pre súčet prvých n prirodzených čísel platí .

Riešenie:
Použijeme dôkaz matematickou indukciou.
  • 1.
    Nech  . Potom . Teda tvrdenie platí pre  .
  • 2.
    Predpokladajme, že tvrdenie platí pre  , teda že
    .
    Dokážeme, že potom platí tvrdenie aj pre  , teda že
    .

    Najprv upravíme ľavú stranu:
    .
    Použili sme predpoklad, podľa ktorého .
  • 3.
    Pre súčet prvých n prirodzených čísel platí .
 
Zadanie:
Dokážte, že pre každé prirodzené číslo  platí .

Riešenie:
Najprv si uvedomíme, že .
Teraz použijeme dôkaz matematickou indukciou.
  • 1.
    Nech . Potom . Teda tvrdenie platí pre  .
  • 2.
    Predpokladajme, že tvrdenie platí pre  , teda že
    .
    Dokážeme, že potom platí tvrdenie aj pre  , teda že
    .

    Najprv upravíme ľavú stranu:
    .
    Použili sme predpoklad, podľa ktorého .
  • 3.
    Pre každé prirodzené číslo  platí .
 
Zadanie:
Dokážte, že pre každé prirodzené číslo  väčšie ako  platí .

Riešenie:
Najprv si pripomenieme, že .
Teraz použijeme dôkaz matematickou indukciou.
  • 1.
    Pretože najmenšie , pre ktoré má tvrdenie platiť, je , dokážeme tvrdenie pre  .
    Pretože  a  , pre   tvrdenie platí.
  • 2.
    Predpokladajme, že tvrdenie platí pre  , teda že .
    Dokážeme, že potom platí tvrdenie aj pre , teda že .

    Najprv upravíme ľavú stranu:
    .
    Použili sme predpoklad, podľa ktorého  a taktiež fakt, že pre   je .
  • 3.
    Pre každé prirodzené číslo  väčšie ako  platí .