Prirodzené čísla, resp. nezáporné celé čísla
Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…}. Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju nedefinovali. Teraz si ukážeme jeden spôsob, ako môžeme vybudovať množinu celých nezáporných čísel, teda prirodzených čísel rozšírených o číslo 0.

Charakteristické vlastnosti množiny všetkých celých nezáporných čísel môžeme zhrnúť do piatich Peanových axióm:
Nastavením ukazovateľa myši nad text konkrétnej axiómy sa Vám zobrazí vysvetľujúci text.
Background image
Axióma P1 nám hovorí:

Nula patrí do množiny celých nezáporných čísel.
Axióma P2 nám hovorí:

Nasledovníkom ľubovoľného celého nezáporného čísla je opäť celé nezáporné číslo.
Axióma P3 nám hovorí:

Nula nie je nasledovníkom žiadneho celého nezáporného čísla.
Axióma P4 nám hovorí:

Ak sa dve celé nezáporné čísla rovnajú, potom sa rovnajú aj ich predchodcovia.

Inak povedané, dve rôzne celé nezáporné čísla majú rôznych nasledovníkov.
Axióma P5 nám hovorí:

Ak nejaká množina S obsahuje nulu a pre všetky svoje prvky obsahuje aj ich nasledovníkov, potom S je množinou všetkých celých nezáporných čísel.

Na tejto axióme je založený dôkaz matematickou indukciou.