Dedekindova teória
Ďalšiu veľmi známu teóriu reálnych čísel vybudoval nemecký matematik Julius Wilhelm Richard Dedekind. Je založená na špeciálnych množinách racionálnych čísel, ktoré sú nám bližšie ako fundamentálne postupnosti, a preto si o nej povieme trochu viac.
Veľmi dôležitým pojmom v Dedekindovej teórii je rez množiny racionálnych čísel. Je to taká podmnožina množiny racionálnych čísel, ktorá:
  • 1.
    nie je prázdna,
  • 2.
    neobsahuje všetky racionálne čísla,
  • 3.
    ak obsahuje racionálne číslo p, potom obsahuje aj všetky racionálne čísla menšie ako p,
  • 4.
    nemá najväčší prvok, teda ku každému racionálnemu číslu q, ktoré obsahuje, vieme v nej nájsť iné racionálne číslo r, ktoré je väčšie ako q.
Každý rez množiny racionálnych čísel predstavuje potom reálne číslo. Napríklad reálne číslo √2 predstavuje zjednotenie množiny záporných racionálnych čísel s množinou tých nezáporných racionálnych čísel, ktorých druhá mocnina je menšia ako 2. Reálne číslo √3 predstavuje zjednotenie množiny záporných racionálnych čísel s množinou tých nezáporných racionálnych čísel, ktorých druhá mocnina je menšia ako 3. Reálne číslo   predstavuje množina tých racionálnych čísel, ktoré sú menšie ako , reálne číslo π predstavuje množina tých racionálnych čísel, ktoré sú menšie ako π. Na množine všetkých rezov racionálnych čísel definujeme operácie sčítania a násobenia a reláciu usporiadania.