Množinu párnych prirodzených čísel charakterizujeme ako množinu P = {2,4,6,8,10,…}. Pretože súčtom aj súčinom dvoch párnych prirodzených čísel je opäť párne prirodzené číslo, sčítanie a násobenie sú binárnymi operáciami na množine párnych prirodzených čísel.

Už vieme, že operácie sčítania a násobenia sú komutatívne aj asociatívne na množine párnych prirodzených čísel. Naviac, operácia násobenia je distributívna vzhľadom na operáciu sčítania. Preto dvojice (P,+) a (P,•) sú pologrupy a trojica (P,+,∙) je polookruh. Neutrálny prvok vzhľadom na násobenie je číslo 1, ktoré nepatrí do množiny P. Preto (P,∙) nie je monoid, teda ani grupa.

Neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie je číslo 0, ktoré nepatrí do množiny P. Preto (P,+,∙) nie je monoid, a teda ani grupa. Potom (P,+,∙) nie je okruh. Operácie odčítania a delenia nie sú binárne operácie na množine párnych prirodzených čísel, pretože nemožno určiť výsledok napríklad pre 4 - 8 alebo 4 : 8 (výsledkom nie sú párne prirodzené čísla).

Množinu nepárnych prirodzených čísel charakterizujeme ako množinu M = {1,3,5,7,9,11,…}. Pretože súčtom dvoch nepárnych prirodzených čísel nie je nepárne prirodzené číslo, sčítanie nie je binárna operácia na množine nepárnych prirodzených čísel. Preto (M,+) nie je ani grupoid a (M,+,∙) nie je ani polookruh.

Súčinom dvoch nepárnych prirodzených čísel je nepárne prirodzené číslo. Preto násobenie je binárna operácia na množine nepárnych prirodzených čísel. Už vieme, že operácia násobenia je komutatívna aj asociatívna na množine nepárnych prirodzených čísel. Preto dvojica (M,∙) je pologrupa. Neutrálny prvok vzhľadom na násobenie je číslo 1. Žiadne iné číslo však nemá inverzný prvok vzhľadom na násobenie. Preto (M,∙) je monoid, ale nie je grupa.

Operácie odčítania a delenia nie sú binárne operácie na množine nepárnych prirodzených čísel, pretože nemožno určiť výsledok napríklad pre 3 - 7 alebo 3 : 7 (výsledkom nie sú nepárne prirodzené čísla).