Nie vždy budú výsledkom všetkých základných spojov čísla menšie ako 10. V takomto prípade pôjde o sčítanie s prechodom cez základ. Postup si vysvetlíme na nasledujúcom príklade.
Počítajme 1546 + 749.
Najprv si súčet vyjadríme v tvare a ₀ ∙ 10⁰ + a ₁ ∙ 10¹ + a ₂ ∙ 10² + a ₃ ∙ 10³ + … + a _n  ∙ 10 ⁿ .

1546 + 749 = (6 ∙ 10⁰ + 4 ∙ 10¹ + 5 ∙10² + 1 ∙ 10³) + (9 ∙ 10⁰ + 4 ∙ 10¹ + 7 ∙ 10²) =

Teraz použijeme komutatívny, asociatívny a distributívny zákon, aby sme združili sčítance, ktoré obsahujú číslice toho istého rádu.

= 6 ∙ 10⁰ + 4 ∙ 10¹ + 5 ∙ 10² + 1 ∙ 10³ + 9 ∙ 10⁰ + 4 ∙ 10¹ + 7 ∙ 10² =
= 6 ∙ 10⁰ + 9 ∙ 10⁰ + 4 ∙ 10¹ + 4 ∙ 10¹ + 5 ∙ 10² + 7 ∙ 10² + 1 ∙ 10³ =
= (6 + 9) ∙ 10⁰ + (4 + 4) ∙ 10¹ + (5 + 7) ∙ 10² + 1 ∙ 10³ =

Teraz si ukážeme podstatu sčítania s prechodom cez základ. Využijeme, že 10 jednotiek nižšieho rádu tvorí jednu jednotku vyššieho rádu.

= (10 + 5) ∙ 10⁰ + 8 ∙ 10¹ + (10 + 2) ∙ 10² + 1 ∙ 10³ = 10 ∙ 10⁰ + 5 ∙ 10⁰ + 8 ∙ 10¹ + 10 ∙ 10² + 2 ∙ 10² + 1 ∙ 10³ =
= 1 ∙10¹ + 5 ∙ 10⁰ + 8 ∙ 10¹ + 1 ∙ 10³ + 2 ∙ 10² + 1 ∙ 10³ = 5 ∙ 10⁰ + 1 ∙ 10¹ + 8 ∙ 10¹ + 2 ∙ 10² + 1 ∙ 10³ + 1 ∙ 10³ =
= 5 ∙ 10⁰ + (1 + 8) ∙ 10¹ + 2 ∙ 10² + (1 + 1) ∙ 10³ = 5 ∙ 10⁰ + 9 ∙10¹ + 2 ∙ 10² + 2 ∙ 10³ = 2295

Písomný algoritmus sčítania, ktorý poznáme už zo základnej školy, je založený práve na poznatkoch prezentovaných na dvoch predchádzajúcich príkladoch. Spočíva v tom, že si sčítance zapíšeme pod seba tak, aby jednotky toho istého rádu boli v rovnakom stĺpci. Potom postupne sčítame číslice nultého rádu, číslice prvého rádu, číslice druhého rádu atď. Ak súčet číslic v niektorom ráde prekročí číslo 9, číslicu, vyjadrujúcu počet desiatok, presunieme do vyššieho rádu.