Teraz si uvedieme niekoľko vzťahov platiacich pre súčet, súčin a usporiadanie kardinálnych čísel. Mnohé už poznáme ako známe vlastnosti prirodzených čísel.
|
Nech a, b, c sú kardinálne čísla. Potom platí:
|
|
Ak a < b
, potom a + c ≤ b + c
.
|
|
Ak a < b
, potom a ∙ c ≤ b ∙ c
.
|
|
Ak a < b
, potom existuje také kardinálne číslo x
, pre ktoré platí, že a + x = b
.
|
|
Ak a + b = c
, potom a ≤ c, b ≤ c
.
|
Uvedené tvrdenia nebudeme dokazovať.
V závere ešte pripomeňme, že prirodzené čísla sme definovali ako kardinálne čísla konečných neprázdnych množín, a teda nie všetkých množín. Aritmetika kardinálnych čísel nekonečných množín sa značne odlišuje od aritmetiky kardinálnych čísel konečných množín, preto pri vyslovovaní všeobecných tvrdení o kardinálnych číslach musíme byť opatrní a automaticky neprenášať naše skúsenosti z prirodzených čísel na kardinálne.
Napríklad tvrdenie: „Ak a < b, potom a + c < b + c.“ pre ľubovoľné kardinálne čísla a, b, c neplatí, hoci pre ľubovoľné prirodzené čísla a, b, c platí.