Grupa
Monoid (G,*), v ktorom má každý prvok x množiny G inverzný prvok x −1 vzhľadom na operáciu *, nazývame grupa.
Grupa (G,*), v ktorej je operácia * komutatívna, sa nazýva komutatívna grupa alebo aj Abelovská grupa.
Príklady:
  • Už vieme, že inverzným prvkom k číslu x vzhľadom na operáciu sčítania je číslo -x. Ak x bolo celé číslo, potom aj -x je celé číslo (podobne racionálne). Preto (Z,+) a (Q,+) sú grupy.
  • Takisto už vieme, že inverzným prvkom k číslu x vzhľadom na operáciu násobenia je číslo 1/x. Avšak nula nemá inverzný prvok vzhľadom na násobenie. Preto (Z,∙) a (Q,∙) nie sú grupy.
  • Čo ak číslo 0 vylúčime? Ak x je celé číslo, potom číslo 1/x  nemusí byť celé. Preto (Z - {0},∙) nie je grupa. Podobne ak x je prirodzené číslo, potom číslo 1/x nemusí byť prirodzené. Preto (N,∙) nie je grupa. Naopak, ak x je racionálne číslo, potom aj číslo 1/x je racionálne. Preto (Q - {0},∙) je grupa.
  • Pretože sčítanie aj násobenie je komutatívne, všetky spomenuté príklady grúp sú komutatívne, resp. Abelovské.