Pojem iracionálne číslo si najprv podrobnejšie vysvetlíme.

Už na základnej škole sme sa stretli s Pytagorovou vetou. Podľa nej preponu c pravouhlého trojuholníka s odvesnami a, b vypočítame podľa vzorca c =   (možno je vám známejší vzorec c ² = a ² + b ² ). Vezmime si pravouhlý trojuholník, ktorého obe odvesny majú dĺžku 1. Potom podľa tohto vzorca má jeho prepona dĺžku c =   = √1 + 1 = √2.

Pokúsme sa vyjadriť číslo √2 v tvare zlomku , p ∈ Z, q ∈ N, (p,q) = 1 (posledný výraz znamená, že čísla p a q sú nesúdeliteľné, teda že ich najväčším spoločným deliteľom je číslo 1).

Nech  = √2. Potom  = 2, z čoho vyplýva, že p ² = 2q ².

Urobme si rozklad čísla p na súčin prvočísel. Nech sa v ňom dvojka nachádza s exponentom k (k je nezáporné celé číslo). Potom v rozklade čísla p ² na súčin prvočísel sa dvojka nachádza s exponentom 2k. Podobne si urobme rozklad čísla q na súčin prvočísel. Nech sa v ňom dvojka nachádza s exponentom l (l je nezáporné celé číslo). Potom v rozklade čísla q ² na súčin prvočísel sa dvojka nachádza s exponentom 2l, a teda v rozklade čísla 2q ² na súčin prvočísel sa dvojka nachádza s exponentom 2l + 1.

Vidíme, že v rozklade čísla p ² na súčin prvočísel sa dvojka nachádza s párnym exponentom a v rozklade čísla 2q ² na súčin prvočísel sa dvojka nachádza s nepárnym exponentom. Pretože vieme, že rozklad čísla na súčin prvočísel je jednoznačne určený, nemôže nastať rovnosť p ² = 2q ², z čoho vyplýva, že √2 sa nedá vyjadriť v tvare zlomku. Vidíme teda, že číslo √2 nie je racionálne. Podobne by sme vedeli ukázať, že racionálne nie sú ani čísla √3, √5, √6, √7, √8,  a mnohé ďalšie.