Príklad riešenia kubickej rovnice
V 1. predúlohe sme si pripomenuli, že korene niektorých kubických mnohočlenov vieme v R nájsť. Teraz sa naučíme postupne hľadať korene všetkých kubických mnohočlenov. Postupne pri tom použijeme až tri substitúcie.

Celý všeobecný postup si však ukážeme neskôr. Najprv začneme s konkrétnymi kubickými mnohočlenmi, v ktorých chýba kvadratický člen.

Zadanie:
Začnime mnohočlenom A = x 3-9x-28.

Riešenie:
Rovnicu x 3-9x-28 = 0 vyriešme pomocou viacerých substitúcií.
  • Riešenie budeme hľadať v tvare x = u+v.  To znamená, že ideme použiť neobvyklú substitúciu s dvoma novými neznámymi. Prečo, to uvidíte za chvíľu.
  • Potom x 3 = (u+v) 3 = u 3 +3u 2 v+3uv 2 +v 3 = u 3 +v 3 +3uv(u+v).
  • Po dosadení do danej rovnice dostaneme
     u 3+v 3+3uv(u+v)-9.(u+v)-28 = 0
     u 3+v 3+(3uv-9).(u+v)-28 = 0
 
  • Ak by sme teraz položili 3uv-9 = 0, tak by sa nám rovnica veľmi zjednodušila a to na tvar u 3+v 3-28 = 0.
    - Môžeme si to ale dovoliť?
    - Áno, ak také u,v existujú.
  • Teda áno, ak bude mať nasledujúca sústava riešenie
     3uv-9 = 0
     u 3+v 3-28 = 0.                 (1)
  • Poďme ju riešiť. Napríklad tak, že z 1. rovnice si vyjadríme u, u =  a dosadíme do 2. rovnice.
    +v 3-28 = 0 ,  +v 3-28 = 0.
 
  • Tu sa nám ponúka substitúcia z = v 3 ,
  • +z-28 = 0, po odstránení zlomku postupne dostaneme
    27+z 2-28z = 0, z 2-28z+27 = 0, z 1,2 = , z 1 = 27, z 2 = 1.
  • Vráťme sa k substitúcii pre
     z 1  = 27: v 3 = 27, v = ∛27 = 3         (2)
 
  • Potom u =  = 1.
  • Nakoniec x = u+v = 1 + 3 = 4 a tak dostávame jeden koreň mnohočlena A = x 3-9x-28.