Rámcový vzdelávací plán - Matematické myslenie a práca s informáciami
Cieľom vyučovania matematiky je rozvoj matematickej gramotnosti, teda schopnosti jedinca:
- používať matematiku pri nastolení, formulovaní, riešení a interpretácii problémov v rôznych situáciách a kontextoch,
- rozpoznať a pochopiť úlohu matematiky v živote spoločnosti,
- robiť zdôvodnené hodnotenia.
Štruktúra vzdelávacej oblasti
Obsahová náplň
Vzdelávacia oblasť sa bude z časového hľadiska deliť na dva cykly: príma až kvarta a kvinta až oktáva. V obidvoch cykloch predpokladáme členenie podľa tém, tie budú pre obidva cykly rovnaké:
- Čísla a operácie
- Vzťahy, závislosti a zmena
- Geometria
- Kombinatorika a pravdepodobnosť
- Logika a dôvodenie
- Štatistika
Spôsob realizácie
Vychádzajúc z terajšieho stavu pokladáme za potrebné:
- zredukovať súčasný obsah, lebo je časovo náročný a sčasti nemá vzťah k problémom, s ktorými sa žiak vo svojom budúcom živote bude stretávať:
- uprednostniť napríklad percentá, čítanie grafov, elementárnu logiku, základnú štatistiku pred strednou priečkou, rozkladom na prvočinitele, kritériami deliteľnosti či bezduchým zjednodušovaním výrazov,
- obmedziť množstvo postupov, ktoré sa má žiak naučiť (tie, ktoré ostanú, budú hlavne prostriedkom na získanie zodpovedajúcich kompetencií, napr. práca podľa návodu),
- zredukovať rozsah terminológie, ktoré musí žiak aktívne ovládať (napr. menšenec, menšiteľ, vonkajší uhol trojuholníka, kosodĺžnik, deltoid, variácie),
- uprednostniť napríklad percentá, čítanie grafov, elementárnu logiku, základnú štatistiku pred strednou priečkou, rozkladom na prvočinitele, kritériami deliteľnosti či bezduchým zjednodušovaním výrazov,
- posilniť, prípadne doplniť partie ako argumentácia, logika, štatistika, priestorová predstavivosť, práca s IKT,
- artikulovať rolu matematiky ako neodmysliteľnej zložky všeobecného kultúrneho rozhľadu (rímske číslice, Pytagorova veta, zlatý rez, Ludolfovo číslo, nekonečno),
Matematický obsah je súčasne prostriedkom na rozvíjanie kompetencií. To možno najlepšie docieliť použitím čo najrozmanitejších foriem vyučovania. Preto je dôležité posudzovať nielen samotný matematický obsah, ale aj kompetencie, ktoré sa prostredníctvom neho rozvíjajú. Budeme prihliadať na vek, prirodzenú hravosť pri motivácii a formulácií úloh (napríklad fantazijné a rozprávkové motívy pri vyučovaní v nižších ročníkoch) tak, aby vyučovanie bolo atraktívne.
Za veľmi dôležité pokladáme, aby vyučovanie matematiky bolo zaujímavé tu a teraz. Škola nie je len príprava na život, škola je veľmi podstatná súčasť života samotného.
Výkonový štandard (VŠ) je súhrn výstupov z obsahového štandardu (poznatky, zručnosti a kompetencie) tvoriacich podstatnú časť hodnotenia matematického vzdelania žiaka - deviataka. Výkonový štandard má dve úrovne: základnú a vyššiu. V texte sú požiadavky patriace len do vyššej úrovne zvýraznené tučným písmom. Základná úroveň je chápaná ako minimálne požiadavky na žiaka - deviataka, vyššia (spolu so základnou) ako maximálne požiadavky. Pre základnú úroveň sa vyššia úroveň chápe ako krátkodobý štandard (teda štandard predstavujúci základ hodnotenia v čase preberania príslušnej látky).
Celoslovenský test na konci 9. ročníka - pokiaľ bude existovať - by mal obsahovať len úlohy spadajúce do základnej a vyššej úrovne štandardu v dopredu stanovenom pomere.
Obsah je odporúčaný obsah vyučovania a východisko pre tvorbu učebníc. Je zvolený tak, aby zabezpečoval všetky výstupy požadované výkonovým štandardom. Učiteľ (autor učebnice) môže tento obsah podľa svojho uváženia modifikovať, ale tak, aby nenarušil naplnenie požiadaviek výkonového štandardu. Dodržiavanie jednotlivých celkov a poradie preberania (v jednotlivých ročníkoch aj v rámci ročníka) nie je záväzné ani odporúčané. Pokiaľ učiteľ obsah rozšíri, môžu byť výstupy z rozširujúcich tém súčasťou nanajvýš priebežného hodnotenia.
V nasledujúcom texte pojem
- objavovaním rozumieme vytvorenie dostatočného priestoru na objavovanie poznatku, diskusiu, uvažovanie a dôvodenie priebežne usmerňované učiteľom (asistované objavovanie). Ukážky tém vhodných na objavovanie sú v obsahovom štandarde označené (O).
- algoritmizáciou rozumieme vytvorenie dostatočného priestoru na prácu podľa návodu, na tvorbu návodov, hľadanie nedostatkov v návodoch, apod. Ukážky tém vhodných na algoritmizáciu sú v obsahovom štandarde označené (A).
ČÍSLA
Výkonový štandard | Obsah |
C1 Prirodzené čísla a kladné desatinné čísla |
|
Pojmy: prirodzené a desatinné číslo, sčítanie,
odčítanie, násobenie a delenie, deka-, hekto-, kilo-, deci-, centi-,
mili-, súčet, rozdiel, podiel, súčin, perióda
Žiak/žiačka vie · prečítať a zapísať desatinné číslo a určiť rád číslice v jeho zápise · porovnať, usporiadať a zaokrúhliť desatinné čísla a znázorniť ich na číselnej osi · spamäti: · bez kalkulačky: · s kalkulačkou · premieňať jednotky so základom meter, gram, liter a s predponami deka, hekto, kilo, deci, centi, mili · zistiť a zapísať krátku periódu |
Propedeutika desatinných čísel, kde a ako sa s nimi môžeme
v živote stretnúť. Desatinné číslo, rád číslice v jeho zápise.
Porovnávanie, usporadúvanie a zaokrúhľovanie desatinných čísel a
ich zobrazovanie na číselnej osi.
Sčitovanie a odčítavanie desatinných čísel ako rozšírenie známeho algoritmu pre prirodzené čísla (O). Násobenie a delenie desatinného čísla číslami 10, 100, 1000, ... a číslami 0,1; 0,01; 0,001... Násobenie desatinných čísel, písomné násobenie (O, iné písomné násobenia - A). Delenie prirodzených čísel jednociferným číslom a delenie so zvyškom, neúplný podiel a zvyšok. písomné delenie. Delenie dvojciferným deliteľom ako rozšírenie známeho algoritmu (O). Delenie so zvyškom na kalkulačke (O). Podiel dvoch prirodzených čísel, jeho periodicita (O). Delenie desatinného čísla prirodzeným číslom (O). Prevod delenia desatinným číslom na delenie prirodzeným (O). Delenie desatinných čísel na kalkulačke (aj s požadovanou presnosťou). Premena jednotiek dĺžky, hmotnosti a objemu (so základom meter, gram a liter). Práca s inými systémami jednotiek (napr. anglo-americký systém mier) (A). |
C2 Percentá, zlomky a pomery |
|
Pojmy: percento a promile, základ, úrok,
zlomok a zmiešané číslo, čitateľ a menovateľ, krátenie a rozširovanie
zlomku, pomer
Žiak/žiačka vie · určiť počet percent znázornený pomocou vhodného diagramu a znázorniť vhodným diagramom daný počet percent, vie znázornenú časť celku zapísať zlomkom a opačne · vypočítať tretí z údajov základ - časť celku - počet percent alebo promile, ak pozná dva z nich · rozdeliť celok v danom pomere · riešiť primerané úlohy z jednoduchého a zloženého úrokovania · prečítať a zapísať zlomok a zmiešané číslo, vie zlomok zapísať ako zmiešané číslo a opačne a znázorniť ich na číselnej osi · rozširovať a krátiť zlomky, upraviť dva zlomky na rovnakého menovateľa · spamäti porovnať dva zlomky, ktoré majú rovnaký čitateľ alebo menovateľ · zapísať desatinné číslo ako zlomok a zlomok ako desatinné číslo (presne alebo na požadovaný počet desatinných miest), vie pomocou kalkulačky s danou presnosťou počítať so zlomkami a porovnávať ich (napr. prevodom na desatinné čísla) · bez prevodu na desatinné čísla sčítať, odčítať, násobiť a deliť zlomky · vzájomne previesť medzi sebou časové údaje vrátane údajov vyjadrených desatinnými číslami |
Časť celku. Percento, základ pre výpočet počtu
percent, počet percent. Promile. Znázorňovanie časti celku a počtu
percent vhodným diagramom.
Jednoduché a zložené úrokovanie, umorovanie dlhu (A). Výpočty pomocou tabuľkového procesora. Propedeutika zlomku ako čísla, kde a ako sa so zlomkami môžeme v živote stretnúť. Zlomok (čitateľ a menovateľ), zmiešané číslo. Grafické znázornenie zlomku ako časti celku. Vzťah medzi zlomkami a percentami. Rozdeľovanie celku v danom pomere. Vzťah zlomkov a delenia, zlomok ako číslo. Znázornenie zlomkov na číselnej osi. Rovnosť zlomkov, rôzne zápisy toho istého zlomku (O), krátenie a rozširovanie. Porovnávanie a usporadúvanie zlomkov. Sčítanie a odčítanie zlomkov úpravou na spoločného menovateľa, krížové pravidlo (O, A). Násobenie zlomkom ako výpočet zlomkovej časti z čísla. Násobenie zlomkov. Delenie zlomku prirodzeným číslom, delenie prirodzeného čísla zlomkom. Delenie zlomku zlomkom. Počítanie so zlomkami prevodom na desatinné čísla (približne s danou presnosťou). Počítanie na kalkulačke (A). Vzájomný prevod časových údajov (sekundy, minúty, hodiny, dni) (A), vrátane údajov vyjadrených desatinnými číslami. |
C3 Záporné čísla |
|
Pojmy: kladné a záporné číslo, racionálne číslo
Žiak/žiačka · rozumie tomu, čo v danom kontexte záporné číslo vyjadruje · vie čítať a zapisovať záporné celé a desatinné čísla a znázorniť ich na číselnej osi · vie usporiadať, porovnať, sčítať a odčítať záporné celé a desatinné čísla · vie vynásobiť a vydeliť záporné číslo kladným číslom |
Dlhodobá propedeutika záporného čísla (A - farebné čísla),
kde a ako sa s nimi môžeme v živote stretnúť.
Záporné čísla. Navzájom opačné čísla. Pojem racionálne číslo. Číselná os, porovnávanie a usporadúvanie racionálnych čísel. Sčitovanie a odčítavanie celých (O) a racionálnych čísel (A). Násobenie a delenie záporného čísla kladným (O). Násobenie a delenie záporných čísel (A). |
C4 Mocniny a odmocniny, reálne číslo | |
Pojmy: mocnina, druhá a tretia odmocnina, mega- a
giga-, mikro-
Žiak/žiačka vie · zapísať súčin rovnakých čísel v tvare mocniny a opačne · pomenovať základné mocniny 10 (tisíc, milión, miliarda) · vysvetliť, čo je druhá a tretia odmocnina z čísla (napr. pomocou umocňovania alebo geometrickou interpretáciou) · vypočítať druhú a tretiu odmocninu kladného čísla na kalkulačke · zapísať čísla v tvare a.10n, kde l < a < 10 a n je prirodzené (alebo celé) číslo, vie interpretovať takéto zápisy a porovnávať ich |
Mocniny s prirodzeným mocniteľom.
Druhá a tretia odmocnina. Pojem racionálneho a iracionálneho čísla. Základné mocniny 10. Predpony a ich súvis s mocninami 10 (mikro-, mili-, centi-, deci-, deka-, hekto-, kilo-, mega-, giga-). Veľké a malé čísla v makro- a mikrosvete. Zápis čísel typu a.10n, kde 1 £ a < 10, n je celé číslo (záporné mocniny 10 chápeme len ako dohodnutý spôsob zápisu). Vedecký zápis čísel pri práci s kalkulačkou. Malé zoznámenie sa s reálnymi číslami, príklady reálnych čísel, história (√2, ...,π, ) (O), desatinný zápis (O). |
C5 Poradie operácií, odhady a overovanie výsledkov |
|
Pojmy: odhad výsledku
Žiak/žiačka vie · overiť správnosť výpočtu (skúška správnosti) · pre operácie +, -, ×, : nájsť chýbajúci tretí údaj v príklade, pri náročnejších príkladoch vie overiť, či dané číslo je chýbajúcim údajom · vypočítať bežné príklady s jednou alebo dvoma zátvorkami, vie pri počítaní uplatniť dohodnuté poradie operácií · odhadnúť rád výsledku s jednou alebo dvomi operáciami, vie odhadnúť výsledok vhodným zaokrúhlením vstupných údajov |
Vzťah operácií sčítania a odčítania, delenia a násobenia.
Poradie operácií a zátvorky. Poradie operácií na kalkulačkách (O).
Odhad výsledku (A) a overovanie výpočtu (skúška správnosti). |
GEOMETRIA
Výkonový štandard | Obsah |
Útvary v rovine | |
G1 Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami | |
Pojmy: uhol (ako veľkosť odchýlky),
stupeň, ostrý, pravý a tupý uhol, os uhla
Žiak/žiačka vie · narysovať uhol danej veľkosti a uhlomerom odmerať veľkosť uhla v stupňoch · na základe výpočtu alebo konštrukcie narysovať os uhla · že vrcholové uhly sú rovnaké a že súčet susedných uhlov je 180° |
Uhol, meranie veľkosti uhla, stupeň.
Ostrý, pravý, tupý a priamy uhol, uhol väčší ako priamy. Odhad veľkosti uhla. Uhol v svete okolo nás (zemepisná šírka a dĺžka, azimut). Vrcholové a susedné uhly a ich vzájomný vzťah (O). Konštrukcia osi uhla (O). |
G2 Trojuholník |
|
Pojmy: trojuholník, vrchol, uhol,
strana a výška trojuholníka, pravouhlý, ostrouhlý, tupouhlý,
rovnoramenný, rovnostranný trojuholník
Žiak/žiačka · pozná vetu o súčte vnútorných uhlov trojuholníka · vie zostrojiť trojuholník · vie sformulovať trojuholníkovú nerovnosť · pozná základné vlastnosti rovnoramenného a rovnostranného trojuholníka (rovnaké uhly oproti rovnako dlhým stranám, výška na základňu rozpoľuje základňu) · vie slovne zapísať postup konštrukcie |
Uhol v trojuholníku, pojem pravouhlý,
ostrouhlý, tupouhlý trojuholník. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka
(O). Rovnoramenný, rovnostranný trojuholník, ich základné vlastnosti
(O).
Konštrukcia trojuholníka (sss, usu, sus). Trojuholníková nerovnosť (O). Výška trojuholníka, konštrukcie trojuholníka využívajúca výšku (svu, ssv) (O). Jednoznačnosť a nejednoznačnosť konštrukcie a jej súvis so zhodnosťou trojuholníkov (O). Slovný zápis postupu konštrukcie ako rozvoj schopnosti čítať s porozumením. |
G3 Rovnobežnosť, rovnobežník a lichobežník |
|
Pojmy: striedavé a súhlasné
uhly, rovnobežník, obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, lichobežník,
pravouhlý a rovnoramenný lichobežník, n-uholník (pre konkrétne
n), vrchol, strana
Žiak/žiačka · vie narysovať (pomocou dvoch pravítok, resp. pravítka s ryskou) obdĺžnik, štvorec a rovnobežník, rovnobežky a kolmice · vie, že súhlasné a striedavé uhly majú rovnakú veľkosť a vie túto vlastnosť použiť pri dôvodení v jednoduchých prípadoch · pozná základné vlastnosti štvorca a obdĺžnika (rovnaká dĺžka a rozpoľovanie uhlopriečok, v prípade štvorca ich kolmosť), rovnobežníkov (súčet susedných uhlov), kosoštvorca (kolmosť a rozpoľovanie uhlopriečok), rovnoramenného lichobežníka (súčet susedných uhlov) · vie v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či na základe daných údajov možno skonštruovať rovnobežník, lichobežník a mnohouholník (ak údaje nepostačujú, vie navrhnúť ich vhodné doplnenie) a vie túto konštrukciu slovne zapísať |
Rovnobežnosť, rovnobežky preťaté priečkou.
Rovnaká veľkosť striedavých a súhlasných uhlov (O).
Vlastnosti rovnobežníkov vyplývajúcich z rovnobežnosti (obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, všeobecný rovnobežník) (O). Vlastnosti lichobežníka (špeciálne pravouhlého a rovnoramenného) (O). Pojem mnohouholníka, jeho rozklad na trojuholníky. Jednoduché konštrukcie rovnobežníkov, lichobežníka a mnohouholníkov využívajúce rovnobežnosť a rozklad na trojuholníky. Diskusie o preurčenosti a nedourčenosti údajov pri konštrukciách. |
G4 Kruh, kružnica |
|
Pojmy: kruh, kružnica, stred, polomer
a priemer kružnice a kruhu, dotyčnica ku kružnici, tetiva, kružnicový
oblúk a kruhový výsek
Žiak/žiačka vie · narysovať kružnicu s daným polomerom a dotyčnicu ku kružnici daným bodom kružnice · rysovať podľa návodu útvary zložené z úsečiek a častí kružníc · že dotyčnica ku kružnici je kolmá na príslušný polomer · že os tetivy prechádza stredom kružnice a vie túto vlastnosť využiť pri hľadaní stredu kružnice |
Pojem kruh, kružnica (stred, polomer, priemer). Dotyčnica ku kružnici, vzájomná poloha dotyčnice a príslušného polomeru. Tetiva kružnice. Kružnicový oblúk a kruhový výsek. |
G5 Súmernosť v rovine |
|
Pojmy: os súmernosti, (osovo) súmerný
Žiak/žiačka vie · zistiť, či je daný útvar osovo súmerný a vie určiť osi súmernosti · zostrojiť útvar, ktorý je osovo súmerný s daným útvarom (zloženým z úsečiek a častí kružnice), vie dorysovať útvar v osovej súmernosti · uviesť príklad stredovo súmerného útvaru a na tomto príklade vysvetliť pojem stredovej súmernosti |
Osová súmernosť, os súmernosti. Konštrukcia
obrazu v osovej súmernosti (O).
Ukážky iných zhodných zobrazení (stredová súmernosť, otočenie a posunutie) . |
G6 Obsah a obvod rovinných útvarov |
|
Pojmy: obsah a obvod, dĺžka kružnice
Žiak/žiačka· pozná jednotky dĺžky a obsahu a vie ich premieňať, má predstavu o veľkosti dĺžkových a obsahových jednotiek · vie vypočítať obsah a obvod obdĺžnika, štvorca, pravouhlého obrazca, rovnobežníka a trojuholníka (pomocou strany a výšky) · vie vypočítať obsah špeciálnych útvarov (lichobežník, kosoštvorec) buď pomocou vzorca (daného alebo vyhľadaného) alebo rozkladom na útvary so známym obsahom a vie odvodiť vzorec pre výpočet obsahu lichobežníka a kosoštvorca · vie vypočítať obsah všeobecného štvoruholníka na základe odmeraných údajov · ovláda princíp približného určenia plochy nepravidelného útvaru · vie vypočítať obsah kruhu a dĺžku kružnice, dĺžku kružnicového oblúku a plochy kruhového výseku |
Obsah a obvod pravouhlých obrazcov v štvorčekovej
sieti.
Jednotky obsahu (vrátane áru a hektáru) a ich premena. Obsah obdĺžnika a štvorca s desatinnými rozmermi (výber vhodnej štvorčekovej siete, súvis s násobením desatinných čísel). Vzťahy pre výpočet obsahu rovnobežníka, trojuholníka a lichobežníka (O). Obvod mnohouholníka. Myšlienka rozkladu mnohouholníka na jednoduchšie útvary so známym obsahom. Približné určenie plochy nepravidelných útvarov (napr. škvrna, rybník, les) pomocou štvorčekovej siete, vpisovania alebo opisovania mnohouholníkov, prípadne ich kombinácie. Zlepšenie presnosti odhadu zjemnením siete. Dĺžka kružnice, objavenie vzorca na výpočet obsahu kruhu. Výpočet dĺžky oblúku a plochy výseku (O). |
Telesá |
|
G7 Kocka, kváder, kolmý hranol |
|
Pojmy: kocka, kváder, (kolmý) hranol
a ich siete, vrchol, hrana, stena
Žiak/žiačka · vie načrtnúť kocku, kváder a hranol · pozná sieť kocky a kvádra vo viacerých podobách, vie rozhodnúť, či daná sieť je sieťou kocky alebo kvádra · pozná sieť hranola a dokáže overiť, či daná sieť patrí k danému hranolu |
Kocka, kváder a ich siete.
Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti využívajúce kocku a kváder. Zobrazenie kocky a kvádra v rovine, viditeľnosť hrán. (Kolmý) hranol, jeho zobrazenie v rovine a sieť. |
G8 Valec, ihlan, kužeľ, guľa |
|
Pojmy: valec, ihlan, kužeľ a ich
siete, plášť valca a kužeľa, podstava valca a kužeľa, guľa, stred,
polomer a priemer gule
Žiak/žiačka vie · zostrojiť sieť valca a ihlana · z akých útvorov sa skladá sieť kužeľa · zdôvodniť vzťah medzi obvodom podstavy a dĺžkou oblúka rozvinutého plášťa kužeľa |
Sieť ihlana, valca a kužeľa (O). Súvislosť
medzi obvodom podstavy a dĺžkou oblúka rozvinutého plášťa
(O).
Guľa a rez guľou. Opis polohy na zemeguli, poludníky a rovnobežky. |
G9 Objem a povrch telies |
|
Pojmy: objem, povrch
Žiak/žiačka · pozná používané jednotky objemu a vie ich navzájom premieňať · vie vypočítať objem a povrch kocky, kvádra, hranola · vie použiť vzorce na výpočet objemu a povrchu valca, ihlana, kužeľa a gule · vie vysvetliť, ako sa zmení povrch a objem kocky pri zdvojnásobení (resp. zväčšení alebo zmenšení) jej rozmerov |
Jednotky objemu (vrátane litra a hektolitra
a ich vzťahu k m3) a ich premeny.
Objem a povrch kocky a kvádra. Budovanie predstavy o veľkosti objemových jednotiek. Odhad objemu. Pomer medzi veľkosťou objemu a povrchu pri zväčšovaní alebo zmenšovaní rozmerov kocky alebo kvádra (O). Vzorce na výpočet povrchu a objemu hranola a valca a povrchu ihlana (O). Vzorec na výpočet objemu ihlana a povrchu a objemu kužeľa. Vzorce pre výpočet objemu a povrchu gule. |
Podobnosť a trigonometria |
|
G10 Podobnosť |
|
Pojmy: podobnosť, pomer podobnosti
Žiak/žiačka vie · že podobné útvary majú zhodné uhly a rovnaké pomery zodpovedajúcich dĺžok · že plošný obsah sa zväčší druhou a objem treťou mocninou · zväčšiť alebo zmenšiť jednoduchý rovinný útvar (zložený z úsečiek a častí kružníc) v danom pomere |
Podobnosť geometrických útvarov. Pomer
podobnosti. Kritériá pre podobnosť trojuholníkov (O).
Aplikácie podobnosti vo svete okolo nás (napr. meranie výšok a dĺžok, mierka mapy). |
G11 Pravouhlý trojuholník (Pytagorova veta a trigonometria) |
|
Pojmy: Pytagorova veta, sínus, kosínus,
tangens
Žiak/žiačka · pozná Pytagorovu vetu a vie ju použiť v jednoduchých situáciách · vie vysvetliť, čo je sínus, kosínus a tangens ostrého uhla · vie odvodiť jednoduché vzťahy medzi goniometrickými funkciami · vie určiť hodnoty sin α, cos α, tg α pre 0 £ α < 90° na kalkulačke a opačne · vie použiť goniometriu pri riešení jednoduchých úloh |
Pytagorova veta a jej dôkaz (O). Použitie
Pytagorovej vety.
Sínus, kosínus, tangens v pravouhlom trojuholníku. Určovanie hodnôt sínus, kosínus, tangens pomocou kalkulačky. Jednoduché vzťahy medzi goniometrickými funkciami (tangens ako podiel sínusu a kosínusu, sínus uhla a kosínus jeho doplnku do 90°, súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu) (O). Použitie goniometrie ostrého uhla v praxi (napr. v prírodných vedách, pri meraní ). |
PREMENNÉ A ZÁVISLOSTI, ROVNICE A NEROVNICE
Výkonový štandard | Obsah |
P1 Premenná, závislosti a funkcie |
|
Pojmy: výraz, premenná, závislosť,
priama a nepriama úmera, trojčlenka, funkcia, graf funkcie, rýchlejší
a pomalší rast a klesanie, najväčšia a najmenšia hodnota
Žiak/žiačka · vie zapísať a prečítať výraz (zapísaný pomocou operácií + , - , × , : , druhej a tretej mocniny a odmocniny) a dosadiť doň · vie v kontextových úlohách (napr. úlohy na rozdeľovanie ...) overiť, či je ponúknutý výsledok správny · vie slovne vyjadrený jednoduchý vzťah zapísať pomocou premenných a rozhodnúť, či daný zápis je správne vyjadrenie slovnej formulácie, v jednoduchých prípadoch vie lineárny vzťah vyjadrený pomocou premenných opísať slovne · pre výraz s jednou premennou (funkciu) vie zostrojiť tabuľku hodnôt a znázorniť ich v súradnicovej sústave, pomocou nich vie zistiť (odhadnúť) prislúchajúcu (chýbajúcu) hodnotu · rozumie pojmom priama a nepriama úmera, vie načrtnúť ich grafy a riešiť zodpovedajúce kontextové úlohy (pri priamej úmere napr. "cez jednotku" alebo použitím trojčlenky) · vie z daného grafu funkcie s dostatočnou presnosťou odčítať funkčné hodnoty · vie slovne opísať základné vlastnosti (rast, klesanie, najväčšie a najmenšie hodnoty) závislosti, ktorej prislúcha daný graf alebo tabuľka a využiť tieto vlastnosti pri riešení jednoduchých úloh (napr. na hľadanie maxima alebo minima) · vie porovnať charakteristiky (veľkosti hodnôt, rast, klesanie a ich rýchlosť, najväčšie a najmenšie hodnoty, ....) dvoch funkcií na základe ich grafu alebo tabuľky |
Propedeutika premennej v úlohách vychádzajúcich
z operácií súčet, rozdiel, súčin, podiel, druhá a tretia mocnina a
odmocnina (hľadanie chýbajúcej hodnoty), úlohách z každodenného života
(daň, poplatky za teplo a pod.), vo vzorcoch pre obsahy a objemy
geometrických útvarov, v percentách (n % z premenlivého základu). Zápis
vzťahov vychádzajúcich z jednotlivých operácií (napr. súčin dvoch
čísel je 100), z porovnávania (o 12 kg ľahší, dvakrát ťažší, o
tretinu väčší, o 24 % lacnejší).
Výrazy s premennými, dosadzovanie čísel za jednotlivé premenné, jednoduché algebrické úpravy a rovnosť dvoch výrazov. Znázornenie hodnôt výrazov pomocou tabuliek a grafov. Pojmy závislosť a funkcia. Príklady závislostí a funkcií (matematika, prírodné vedy, ekonómia), priama a nepriama úmernosť. Úlohy na priamu a nepriamu úmernosť (napr. mierka mapy, kurzy). Trojčlenka. Propedeutika: mocninná (kvadratická a kubická) závislosť, iné závislosti. Súvis niektorých základných vlastností funkcie (rast, klesanie, maximum, minimum, rýchlejší, pomalší rast) s grafickým znázornením. Porovnávanie charakteristík (veľkosti hodnôt, rast, klesanie, ...) dvoch funkcií na základe ich grafu. Úlohy na posúdenie výhodnosti/nevýhodnosti ponuky, optimalizáciu nákladov. |
P2 Rovnice a nerovnice |
|
Pojmy: rovnica, nerovnica, riešenie
rovnice a nerovnice, overenie správnosti výsledku
Žiak/žiačka vie · overiť, či dané číslo je riešením danej rovnice alebo nerovnice alebo či daná dvojica je riešením jednoduchej sústavy rovníc (nerovníc) s dvomi neznámymi · v prípade jednoduchých výrazov vypočítať akúkoľvek premennú, ak pozná hodnotu výrazu a hodnoty ostatných premenných, špeciálne vie vyjadriť premennú zo vzorca zapísaného pomocou operácií +, -, × , : , druhej a tretej mocniny a odmocniny · graficky riešiť rovnice a nerovnice s jednou neznámou, ak vie nakresliť (napr. pomocou vhodného softvéru) grafy príslušných funkcií na ich ľavej a pravej strane · vie vyriešiť akúkoľvek rovnicu zostavenú pomocou operácií +, -, × , : , druhej a tretej mocniny a odmocniny s jedným výskytom neznámej · výpočtom riešiť lineárnu rovnicu tvaru ax + b = cx + d · riešiť jednoduché nerovnice s jednou neznámou, pokiaľ ich riešenie možno nájsť riešením príslušnej rovnice (nerovnice typu ax + b > cx + d , nerovnice s jedným výskytom neznámej zostavené pomocou operácií +, -, × , : , druhej a tretej mocniny a odmocniny) |
Propedeutika: riešenie jednoduchých
kontextových úloh (napr. úlohy na rozdeľovanie : jeden má o 2 viacej,
2krát viacej, o 2/3 viacej, o 23 % viacej ako druhý) bez prevodu na
rovnice.
Úlohy vedúce k rovniciam s jednou neznámou, ich grafické riešenie (O). Riešenie lineárnych rovníc výpočtom. Jednoduché úlohy vedúce k sústavám dvoch rovníc s dvomi neznámymi. Úlohy vedúce na jednoduché nerovnice, vzťah riešení nerovnice k riešeniu príslušnej rovnice (O). |
LOGIKA, KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA
Výkonový štandard | Obsah |
D1 Logika |
|
Pojmy: hypotéza, dôkaz, protipríklad,
definícia
Žiak/žiačka vie · negovať jednoduché výroky vytvorené pomocou kvantifikátorov všetci, aspoň jeden, práve, najmenej, najviac, nikto, … · uviesť v jednoduchých prípadoch (súvisiacich s matematikou alebo bežným životom) kontrapríklad všeobecných tvrdení · posúdiť, či v danej situácii boli splnené podmienky jednoducho formulovaného pravidla (nariadenia) alebo definície |
Všeobecné výroky a kvantifikátory (všetci,
aspoň jeden, práve, najmenej, najviac, nikto, …). Vyjadrenie tej istej
skutočnosti pomocou rôznych kvantifikátorov ("aspoň 1 z 10 prišiel"
= "najviac 9 neprišlo" ), negácia kvantifikovaných výrokov
(O).
Práca s textami typu jednoduchých pravidiel (napr. pravidlá spoločenských hier), vyhlášok a nariadení (napr. dopravné predpisy) a posudzovanie ich dodržania v konkrétnych prípadoch. Definícia. Diskusia o význame a použití spojok "a", "alebo", buď -alebo", "ak-tak" v živote, matematike a reči vyhlášok a zákonov. Definície, hypotézy, dôkazy, protipríklady a protirečenia v jednoduchých textoch (vrátane matematických) (O). |
D2 Kombinatorika a pravdepodobnosť |
|
Pojmy: pravdepodobnosť, náhodný
jav, jav nemožný, istý
Žiak/žiačka vie (kombinatorika) · riešiť jednoduché kombinatorické úlohy vypisovaním všetkých možností, pričom vie vytvoriť systém na vypisovanie všetkých možností, dokáže objaviť podstatu daného systému a pokračovať vo vypisovaní všetkých možností, na základe vytvoreného systému vypisovania všetkých možností určiť počet všetkých možností (pravdepodobnosť) · rozlíšiť javy nemožné, veľmi málo pravdepodobné, isté, odhadnúť riziko · riešiť úlohy na pravdepodobnosť, založené na · predpovedať pravdepodobnosť výsledkov jednoduchých pokusov a predpovede testovať |
Organizácia súboru obsahujúceho veľký počet
dát (telefónny zoznam, cestovný poriadok). Spôsoby vyhľadávania,
systematické vypisovanie možností, objavovanie a opis systému,
algebrizácia systému alebo počtu možností. (O, A).
Hľadanie spoločnej matematickej podstaty kombinatorických úloh s rôznymi kontextami (O). Šanca a porovnávanie šancí. Pojem pravdepodobnosti a jej odhad. Odhad výsledkov jednoduchých pokusov a jeho testovanie (napr. daný súčet pri hádzaní kockou). Pravdepodobnostné vyjadrovanie v živote, pravdepodobnosť v svete okolo nás (šport, stávky, súťaže, hry). |
D3 Štatistika |
|
Pojmy: diagram, prieskum, náhodný výber,
aritmetický priemer
Žiak/žiačka vie · čítať a tvoriť grafy, diagramy a tabuľky dát · uskutočniť jednoduchý štatistický prieskum a získané dáta graficky spracovať · používať pri spracúvaní údajov vhodný počítačový softvér |
Tabuľky, grafy a diagramy, ich čítanie a
tvorba, prechod od jedného typu znázornenia k inému.
Interpretácia štatistických údajov v podobe grafov, tabuliek a diagramov a posúdenie jej správnosti. Aritmetický priemer, situácie, kedy jeho použitie je, resp. nie je správne. Náhodný výber a štatistické prieskumy. Realizácia vlastných jednoduchých štatistických priemerov. |